מבוא מתמטי לפיסיקאים 2 (ממפיס 2) מר גיא סלומון חפש בקורס

פרק 1 - וקטורים גיאומטרים, פונקציות וקטוריות, אופרטורים וקטורים ▼
המרחב התלת ממדי, ווקטור תלת ממדי, אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון, וקטור העובר דרך שתי נקודות, גודל וכיוון של וקטור, שוויון בין וקטורים, כפל וקטור בסקלר, חיבור וחיסור וקטורים, מכפלה סקלרית של וקטורים, חישוב זוית בין וקטורים, וקטורי הצירים, נורמה של וקטור, וקטור יחידה, נרמול של וקטור, מרחק בין וקטורים, מכפלה וקטורית ושימושיה (נורמל לוקטורים נתונים, שטח מקבילית, שטח משולש, משוואת מישור, מרחק נקודה מישר, מרחק בין ישרים מקבילים ובין ישרים מצטלבים), מכפלה מעורבת ושימושיה (המצאות וקטורים על אותו מישור, נפח מקבילון ונפח פירמידה), הצגה פרמטרית של עקום במישור, הצגה פרמטרית של עקום במרחב, פונקציה וקטורית של משתנה ממשי, וקטור משיק וישר משיק לפונקציה וקטורית, גבול, רציפות, נגזרת ואינטגרל של פונקציה וקטורית, פונקציה וקטורית חלקה, משיק יחידה, נורמל יחידה ובינורמל, המישור הניצב, מישור היישור ומישור הנישוק, מהירות ותאוצה של חלקיק, עקמומיות, רדיוס עקמומיות, מעגל עקמומיות, שדה וקטורי, האופרטורים דל ולפלסיאן, הגרדיאנט של פונקציה, הדיברגנץ של שדה וקטורי, הרוטור (קרל) של שדה וקטורי, קואורדינטות קרטזיות גליליות וכדוריות, אלמנטים דיפרנציאלים - אורך, שטח ונפח, הדיברגנץ בקואורדינטות גליליות וכדוריות, המשמעות הפיזיקלית של הדיברגנץ, הרוטור בקואורדינטות גליליות וכדוריות.

פרק 2 - וקטורים אלגברים - גיאומטריה אנליטית במרחב ▼
מהו וקטור אלגברי, וקטור שמוצאו אינו בראשית הצירים, אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון, מכפלה סקלרית וגודל של וקטור בהצגה אלגברית, הצגה פרמטרית של ישר במרחב, הצגה אלגברית של ישר במרחב, מצב הדדי בין ישרים במרחב, הצגה פרמטרית של מישור, משוואת מישור, מצב הדדי בין מישורים במרחב, ישר חיתוך בין שני מישורים, זווית בין שני ישרים, זווית בין ישר ומישור, זווית בין שני מישורים, מרחק בין שתי נקודות במרחב, מרחק בין נקודה לישר, מרחק בין נקודה למישור, מרחק בין ישר ומישור, מרחק בין מישורים מקבילים, מרחק בין ישרים מצטלבים, היטל נקודה על ישר, נקודה סימטרית ביחס לישר, היטל נקודה על מישור, נקודה סימטרית ביחס למישור, היטל ישר על מישור.

פרק 3 - אינטגרלים קוויים ושימושיהם ▼
הצגה פרמטרית של עקום, עקומים פרמטרים נפוצים, אינטגרל קוי מסוג ראשון, שדה וקטורי, אינטגרל קוי מסוג שני, אורך עקום, מסה ומרכז של עקום, עבודה של שדה כח.

פרק 4 - שדות משמרים - אי תלות במסלול ▼
תחום פשוט קשר, שדה משמר, מציאת פונקצית פוטנציאל, המשפט היסודי של האינטגרלים הקוויים, אי תלות במסלול, משפט השדה "הכמעט משמר".

פרק 5 - משפט גרין ▼
משפט גרין, משפט גרין המוכלל

פרק 6 - אינטגרלים משטחיים ושימושיהם ▼
הצגה פרמטרית של משטח, משטחים נפוצים (שפת כדור, אליפסואיד, חרוט, היפרבולואיד, פרבולואיד, מישור), אינטגרל משטחי מסוג ראשון, שטח משטח, מסה ומרכז של יריעה, משטח בר כיוון, אינטגרל משטחי מסוג שני, שטף.

פרק 7 - משפט הדיברגנץ (גאוס)

פרק 8 - משפט סטוקס (גרין במרחב)

פרק 9 - אינטגרלים התלויים בפרמטר (גזירה ואינטגרציה תחת סימן האינטגרל)

פרק 10 - פתרון וחקירת מערכת משוואות ליניאריות ▼
מערכת משוואות לינאריות, מספר הפתרונות של מערכת משוואות לינאריות, מערכת משוואות לינאריות מדורגת, תהליך הדירוג/החילוץ של גאוס לפתרון מערכת משוואות לינאריות, מערכת משוואות ליניאריות הומוגנית, הקשר שבין מערכת משוואות לינאריות למערכת ההומוגנית המתאימה לה, שימושים של מערכות משוואות לינאריות.

פרק 11 - מטריצות ▼
הגדרת מטריצה, מטריצה ריבועית, מטריצת האפס, מטריצה היחידה, מטריצה משולשת עליונה, מטריצה משולשת תחתונה, מטריצה אלכסונית, מטריצה סימטרית, מטריצה אנטי-סימטרית, כפל מטריצה בסקלר, חיבור וחיסור מטריצות, כפל מטריצות, העקבה של מטריצה, המטריצה המשוחלפת, המטריצה ההופכית, דרגה של מטריצה, הצגת מערכת משוואות בעזרת כפל מטריצות, פתרון מערכת משוואות בעזרת המטריצה ההופכית, מטריצה אלמנטרית, פירוק LU, רגרסיה לינארית.

פרק 12 - דטרמיננטות ▼
הגדרת דטרמיננטה, כללי דטרמיננטות, כלל קרמר, מטריצה צמודה קלאסית, חישוב המטריצה ההופכית בעזרת דטרמיננטות, שימושי הדטרמיננטה.

פרק 13 - ערכים עצמיים-וקטורים עצמיים-לכסון מטריצות - דימיון ▼
ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, מטריצה אופינית, פולינום אופייני, ריבוב אלגברי וריבוב גיאומטרי של ערך עצמי, מרחב עצמי, לכסון מטריצות, חזקה של מטריצה, פולינום מינימלי, משפט קיילי המילטון, דמיון מטריצות, מטריצות דומות.

פרק 14 - העתקות ליניאריות ▼
העתקה (טרנספורמציה) לינארית, גרעין ותמונה של העתקה לינארית, העתקה חח"ע, העתקה על, איזומורפיזם, פעולות עם העתקות לינאריות.

פרק 15 - מטריצות והעתקות לינאריות ▼
מטריצה שמייצגת העתקה לפי בסיס, עקבה של העתקה, דטרמיננטה של העתקה, דרגה של העתקה, חזקה של העתקה, גרעין ותמונה של העתקה, מטריצה שמייצגת העתקה מבסיס לבסיס, ההעתקה ההפוכה, מכפלה/הרכבה של העתקות, ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של העתקה, לכסון העתקות.

פרק 16 - שדות ▼
שדה, דוגמאות לשדות, שדה השאריות מודולו p, תת-שדה, מאפיין של שדה, חזרה על מושגים בלוגיקה ותורת הקבוצות.

פרק 17 - מספרים מרוכבים ופתרון משוואות פולינומיאליות ▼
הגדרת מספר מרוכב, הצמוד המרוכב, פעולות בין מספרים מרוכבים (חיבור, חיסור, כפל, חילוק), הצגת קוטבית של מספר מרוכב, הצגה מעריכית של מספר מרוכב (נוסחת אוילר), נוסחת דה-מואבר (חזקה ושורש של מספר מרוכב), פתרון משוואות מרוכבות, שימושים של מספרים מרוכבים באלגברה לינארית (פעולות בין וקטורים, מערכת משוואות, תת-מרחבים, תלות לינארית, ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים), חילוק פולינומים, פתרון משוואות פולינומיאליות.

פרק 18 - מרחבי מכפלה פנימית ▼
מכפלה פנימית, מרחב מכפלה פנימית, נורמה של וקטור, וקטור יחידה, נירמול של וקטור, מרחק בין וקטורים, אי שוויון קושי שוורץ, אי שוויון המשולש, זווית בין וקטורים, אורתוגונליות, משלים אורתוגונלי.

פרק 19 - קבוצות אורתוגונליות, בסיסים אורתוגונליים, התהליך של גרם-שמידט ▼
קבוצה אורתוגונלית, בסיס אורתוגונלי, בסיס אורתונורמלי, שוויון פרסבל, אי-שוויון בסל, ההיטל של וקטור על וקטור, ההיטל של וקטור על תת-מרחב, תהליך גרהם-שמידט.

פרק 20 - מבוא לטופולוגיה ▼
אפסילון סביבה, נקודה פנימית, נקודה חיצונית, נקודת שפה, נקודה גבולית, קבוצה פתוחה, קבוצה סגורה, קבוצה קשירה, קבוצה חסומה, פונקציה חסומה בקבוצה.

פרק 21 - משוואות ליניאריות מסדר שני ▼
משוואה חסרה - שיטת הורדת סדר המשוואה, משוואה לינארית, הומוגנית, עם מקדמים קבועים, עקרון הסופרפוזיציה, שיטת השוואת מקדמים, שיטת וריאציית הפרמטרים, משוואת אוילר, שיטת דאלמבר - שיטת הפתרון השני, נוסחת אבל, הוורונסקיאן ושימושיו, משפט הקיום והיחידות למשוואה לינארית מסדר שני, השיטה האופרטורית.

פרק 22 - משוואות מסדר ראשון ▼
מהי משוואה דיפרנציאלית, משוואה פרידה (משוואה הניתנת להפרדת משתנים), משוואה הומוגנית, משוואה מהצורה ax+by+c)dx+(dx+ey+f)dy=0) , משוואה מדויקת, גורם אינטגרציה, משוואה לינארית (פתרון לפי נוסחה), משוואה לינארית (פתרון לפי וריאציית פרמטרים), משוואת ברנולי, משוואת ריקטי, משוואות הנפתרות על ידי הצבות שונות ומשונות, משפט הקיום והיחידות למשוואה מסדר ראשון על שם פיאנו ופיקארד, משפט הקיום והיחידות למשוואה לינארית מסדר ראשון, שיטת האטרציות של פיקארד (שיטת הקרובים העוקבים), משפט הקיום והיחידות בגרסת ליפשיץ, משפט הקיום והיחידות המורחב, פתרון גרפי בשיטת שדה כיוונים (שדה השיפועים), פתרון נומרי בשיטת אויילר, משוואה מסדר ראשון וממעלה גבוהה.

פרק 23 - משוואות ליניאריות מסדר n ▼
משוואה חסרה מסדר שלישי, משוואה לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים, שיטת השוואת מקדמים, שיטת וריאציית הפרמטרים, משוואת אוילר, הוורונסקיאן ושימושיו, השיטה האופרטורית.